条件数学期望

4.3条件数学期望与最优预测

定义4.3.1【条件数学期望】

若数学期望$\xi$的数学期望存在，则称$\xi$的条件分布函数$\mathcal{F}(x|\eta = y )$所决定的数学期望为已知$\eta = y$的情况下$\xi$的条件数学期望，简称为条件期望，记作$\mathbb{E}(\xi|\eta=y)$

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定义4.3.2【条件方差】

设$\xi \in \mathscr{L}^2,\eta$为随机变量，称：
$$D(\xi|\eta = y)=\mathbb{E}((\xi - \mathbb{E}(\xi|\eta=y))^2|\eta=y)$$

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定理4.3.1【条件期望的拆分】

对于任意波莱尔函数$f(x)$和$g(x)$，随机变量$\xi$和$\eta$，若$f(\xi)g(\eta)$的数学期望存在，则有：
$$\mathbb{E}(f(\xi)g(\eta)|\eta)=g(\eta)\mathbb{E}(f(\xi)|\eta).$$

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定理4.3.2【条件期望的平滑性】

设$\xi$和$\eta$为随机变量，则：
$$\mathbb{E}(\xi)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(\xi|\eta))$$

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定理4.3.3【联系独立性】

假设$\{\xi_k\}$为独立同分布随机变量列，$\eta$为取正整数值的随机变量，$\mathbb{E}(\eta)$有限且$\eta$与$\{\xi_k\}$则有：
$$\mathbb{E}(\sum_{k=1}^n \xi_k) = \mathbb{E}(\xi_1)\mathbb{E}(\eta). \tag{4.46}$$

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定理4.3.4【最优预报定理】

设$\xi$,$\eta$ $\in \mathscr{L}^2$.若$f(x)$为波莱尔函数，则：
$$\mathbb{E}((\xi - \mathbb{E}(\xi | \eta))^2) \leq \mathbb{E}((\xi-f(\eta))^2).$$