两道数学参考题

1. 已知函数 $Q \in C(\mathbb{R})$ ，证明存在 $\xi \in \mathbb{R}$ ，使得：

$\int_{\xi}^{2-\xi} Q(x) \, dx = \frac{\xi \left[ Q(\xi) + Q(2-\xi) \right]}{2023}.$

这道题原来写的过程有错误，正确的证明过程md文件丢失，只能去知乎看看我已经上传的内容了……

2,使用ε–δ定义严格证明:

若：
$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 + 2x^2y + 3xy^2 + 4y^3}{\sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5 \sin^2 y}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y) = (0,0). \end{cases}$
则：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0.$

1. 分母放缩

设
$D(x, y) = \sin^2 x + 3\sin x \sin y + 5\sin^2 y [-\frac{\pi}{4}<x,y<\frac{\pi}{4}]$
则
$D(x, y) - \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} = \frac{4}{5} \sin^2 x + 3\sin x \sin y + \frac{24}{5}\sin^2 y.$

将上述表达式重写为完全平方的形式：
$\begin{aligned} D(x, y) - \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} &= \frac{4}{5} \sin^2 x + 3\sin x \sin y + \frac{24}{5}\sin^2 y \\ &= \frac{1}{5} \left[ \left(2\sin x + \frac{15}{4}\sin y\right)^2 + \left(24 - \frac{225}{16}\right) \sin^2 y \right] \\ &= \frac{1}{5} \left[ \left(2\sin x + \frac{15}{4}\sin y\right)^2 + \frac{159}{16} \sin^2 y \right] > 0. \end{aligned}$

因此，有
$D(x, y) > \frac{1}{5}(\sin^2 x + \sin^2 y).$

在区间 $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，我们证明不等式 $\sin^2 x \geq \frac{x^2}{2}$ 成立。

设 $g(x) = \sin^2 x - \frac{x^2}{2}$ ，则
$g'(x) = \sin 2x - x, \quad g''(x) = 2\cos 2x - 1.$

通过导数分析：

当 $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 时， $g'(x) < 0$ ， $g(x)$ 单调递减。
当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 时， $g'(x) > 0$ ， $g(x)$ 单调递增。

由于 $g(0) = 0$ ，可得在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，
$g(x) \geq g(0) = 0,$
即
$\sin^2 x \geq \frac{x^2}{2}.$

进而推出：
$D(x, y) > \frac{\sin^2 x + \sin^2 y}{5} \geq \frac{x^2 + y^2}{10}.$

2. 三角换元

在条件 $[-\frac{\pi}{4}<x,y<\frac{\pi}{4}]$ 下：
设 $x = R \cos \theta$ ， $y = R \sin \theta$ ，其中 $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ ，则有
$|f(x, y)| = \left| \frac{x^3 + 2x^2 y + 3x y^2 + 4y^3}{D(x, y)} \right| = \left| \frac{R^3 (\cos^3 \theta + 2\cos^2 \theta \sin \theta + 3\cos \theta \sin^2 \theta + 4\sin^3 \theta)}{D(x, y)} \right|.$

我们有
$|x^3 + 2x^2 y + 3x y^2 + 4y^3| \leq 10 R^3.$

根据 分母放缩 部分，我们有
$D(x, y) > \frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{R^2}{10}.$

因此，
$|f(x, y)| < \frac{10 R^3}{\frac{R^2}{10}} = 100 R.$

3. $\epsilon$ - $\delta$ 证明

对于任意 $\epsilon > 0(\epsilon < \frac{\pi}{4})$ ，存在 $\delta = \frac{\epsilon}{100}$ ，当 $\sqrt{x^2 + y^2} = R < \delta$ 时，有：
$|f(x, y) - 0| < 100 R < 100 \delta = \epsilon.$

因此，
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0.$