两道数学参考题

1. 已知函数 $Q \in C(\mathbb{R})$，证明存在 $\xi \in \mathbb{R}$，使得：

这道题原来写的过程有错误，正确的证明过程md文件丢失，只能去知乎看看我已经上传的内容了……

2,使用ε–δ定义严格证明:

若：

则：

1. 分母放缩

设

则

将上述表达式重写为完全平方的形式：

因此，有

在区间 $x \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，我们证明不等式 $\sin^2 x \geq \frac{x^2}{2}$ 成立。

设 $g(x) = \sin^2 x - \frac{x^2}{2}$，则

通过导数分析：

  • 当 $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 时，$g’(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减。
  • 当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 时，$g’(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增。

由于 $g(0) = 0$，可得在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上，

即

进而推出：

2. 三角换元

在条件$[-\frac{\pi}{4}<x,y<\frac{\pi}{4}]$下：
设 $x = R \cos \theta$，$y = R \sin \theta$，其中 $R = \sqrt{x^2 + y^2}$，则有

我们有

根据 分母放缩 部分，我们有

因此，

3. $\epsilon$-$\delta$ 证明

对于任意 $\epsilon > 0(\epsilon < \frac{\pi}{4})$，存在$\delta = \frac{\epsilon}{100}$，当 $\sqrt{x^2 + y^2} = R < \delta$ 时，有：

因此，